O zakładach bukmacherskich

Rok kalendarzowy obfituje w przeróżne wydarzenia sportowe. W tym roku mieliśmy piłkarskie Euro 2024 czy igrzyska olimpijskie w Paryżu. Najczęstsze i przyciągające największą publiczność są mecze piłkarskie w rozgrywkach międzynarodowych czy ligowych. Przy okazji są prowadzone zakłady bukmacherskie i postanowiłem się im przyjrzeć od bardziej matematycznej strony. Nie zachęcam do hazardu - wręcz przeciwnie - wstępne wyniki raczej zniechęcają do podejmowania ryzyka.

O samych zakładach

W Polsce kursy są najczęściej podawane w systemie dziesiętnym. Podawany jest kurs, czyli mnożnik kapitału wejściowego w przypadku wygranej. Natomiast przy przegranej przepada cała wpłacona kwota (poza oczywiście wyjątkami np. związanymi ze szczegółami zakładu, promocji). Tak nie do końca. Jeszcze trzeba uwzględnić podatek :-) Wynosi on bowiem 12% od zakładu, czyli efektywny kapitał, który przynosi zyski wynosi 88%. Do tego należy doliczyć sytuację, gdy nagroda jest znaczna, tj. ok. 2000zł. Wtedy należy odprowadzić kolejne 10%.
Dodatkową ukrytą opłatą jest marża, którą bukmacher pobiera od każdego zakładu.
W jaki sposób są wyznaczane stawki? Domyślam się, że najpierw bukmacherzy ustawiają kwoty według swoich wyliczeń i nakładają wysoką marżę. Następnie wraz ze wzrostem zainteresowania i liczby zawartych zakładów spada marża, a ceny same się regulują. Bukmacher może policzyć, ile zarobi przy konkretnym wyniku, więc może optymalnie ustalać stawki kolejnych zawieranych zakładów. W wyidealizowane sytuacji równowagowej kursy powinny odpowiadać prawdopodobieństwom realizacji konkretnych wyników. Będę się opierał na tym założeniu, przyjmując, że stawki są odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa.

Show code cell content Hide code cell content

import numpy as np
import pylab as plt
from scipy.optimize import fsolve
import math
import scipy.special as ss
import plotly.graph_objects as go

Model dwustanowy

Najlepiej jest przedstawić sytuację na konkretnym przykładzie. Dla uproszczenia zacznijmy od meczu tenisa między dwoma zawodnikami (ale mogą to też być rozgrywki w systemie pucharowym czy wyniki wyborów). W takim przypadku przestrzeń zakładów pokrywa wszystkie możliwe zdarzenia (nie ma remisów). Możemy obstawiać, że wygra zawodnik A (B) po kursie \(kurs_A\) (\(kurs_B\)):
\(kurs_A\): 1.5
\(kurs_B\): 2.5
Kurs na zdarzenie pewne (wygra jeden albo drugi zawodnik) powinnien wynosić 1 + marża.
Stosunki prawdopodobieństw są równe stosunkom kursów:

\[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{kurs_B}{kurs_A}. \]

Operowanie na ułamkach jest wygodne, gdyż pozwala pozbyć się z rozważań multiplikatywnych podatków i marż. Dodatkowo wiemy, że \(P(A)+P(B) = 1\). W wyniku dostajemy \(P(A) = \frac{kurs_B}{kurs_B + kurs_A}\) i analogiczne \(P(B) = \frac{kurs_A}{kurs_A + kurs_B}\).
Jeżeli postawię 1 zł na A, to z prawdopodobieństwem P(A) wygram \(kurs_A\). Czyli \(P(A)*kurs_A\) powinno wynosić 1 z doliczoną marżą. Ogólnie to multiplikatywną marżę mogę wyliczyć z ogólnego wzoru dla zdarzeń niezależnych z kursami \(kurs_i\) i pokrywających całą przestrzeń:

\[ \sum_i \frac{1}{kurs_i}= 1 + marża. \]

Dla podanego przykładu:

\[ 1/1.5 + 1/2.5 = 1.06(6). \]

Zatem marża wynosi ok. 6.7%.
Prawdopodobieństwa wynoszą:

\[ P(A) = 37.5\%, \]

\[ P(B) = 62.5\%. \]

Jest to dość intuicyjne, że zdarzenie bardziej prawdopodobne ma niższy kurs.
Jeżeli obstawimy oba wydarzenia, to od razu tracimy pieniądze na podatek i na marżę, czyli łącznie 17%. Dość sporo jak na sytuację wyjściową.

Model Poissona

Przyjrzyjmy się trochę bogatszemu przypadkowi, w którym występują liczby punktów i remisy. Przykładem jest mecz piłkarski, w którym obie drużyny mają za zadanie zdobyć więcej goli. Przy zadanej częstotliwości strzelania bramek ich rozkład możemy zamodelować rozkładem Poissona.

Rozkład Poissona pozwala wyznaczyć rozkład liczby zdarzeń w zależności od średniej częstotliwości \(\lambda\). W naszym przypadku średnia dotyczy całego meczu trwającego 90 minut.
Rozkład Poissona dany jest wzorem:

\[ P(X = k, \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.\]

Zliczenia \(k\) są dyskretnymi wartościami konkretnej liczby zdarzeń. Dla dużych wartości \(\lambda\) rozkład dąży do rozkładu Gaussa. Taka sytuacja występuje w koszykówce, gdzie liczba punktów jest spora w porównaniu do piłki nożnej. Natomiast dla małych wartości \(\lambda\) rozkład jest skoncentrowany blisko \(0\).
Przyjrzyjmy się przykładowym wykresom rozkładu Poissona dla różnych wartości parametru \(\lambda\).

Show code cell content Hide code cell content

def poisson(k,l):
    return l**k/math.factorial(k)*np.exp(-l)

Show code cell source Hide code cell source

plt.scatter(range(0,10),[poisson(i,1.0) for i in range(0,10)],label = r"$ \lambda = 1 $", marker = '.', color = 'blue')
plt.fill_between(range(0,10),[poisson(i,1.0) for i in range(0,10)], color='blue', alpha=0.05)
plt.scatter(range(0,10),[poisson(i,2.0) for i in range(0,10)],label = r"$ \lambda = 1 $", marker = '.' , color = 'green')
plt.fill_between(range(0,10),[poisson(i,2.0) for i in range(0,10)], color='green', alpha=0.05)
plt.scatter(range(0,10),[poisson(i,4.0) for i in range(0,10)],label = r"$ \lambda = 1 $", marker = '.' , color = 'red')
plt.fill_between(range(0,10),[poisson(i,4.0) for i in range(0,10)], color='red', alpha=0.05)
plt.ylabel("prawdopodobieństwo")
plt.xlabel("liczba zdarzeń $k$")
plt.title("Rozkład Poissona")
plt.legend();

Znając parametry \(\lambda_A\) i \(\lambda_B\) dla drużyn A i B możemy pokusić się o wyznaczenie prawdopodobieństwa remisu i wygranej (przegranej).
Policzenie prawdopodobieństwa zajścia remisu polega na posumowaniu prawdopodobieństw wyników 0:0, 1:1, 2:2 itd.

\[ P(remis_{AB}) = \sum_{i=0}^{\infty} P(i, \lambda_A)*P(i, \lambda_B) = e^{-(\lambda_A + \lambda_B) }\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(\lambda_A \lambda_B)^k}{(k!)^2} = e^{-(\lambda_A + \lambda_B) } I_0(2\sqrt{\lambda_A \lambda_B}), \]

gdzie \(I_0\) to zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju, którą dość nieoczekiwanie otrzymałem sumując szereg. Wynik można uzyskać biblioteką sympy:

from sympy.abc import k, x 
from sympy import Sum, factorial, oo, exp  
Sum(x**k/factorial(k)**2,(k,0,oo)).doit()
# I_0(2*sqrt(x))

Jest to wynik analityczny, z którego skorzystam do rozważenia szczególnych przypadków:

• \(\lambda_A = 0\)

• \(\lambda_A = \lambda_B\)

Show code cell content Hide code cell content

def draws(l1,l2):
    return np.exp(-(l1+l2))*ss.i0(2*np.sqrt(l1*l2))

Show code cell source Hide code cell source

lambdaRange = np.linspace(0,4,1000)
plt.plot(lambdaRange, draws(lambdaRange, lambdaRange),color = "red", label = r'$\lambda_A = \lambda_B$')
plt.plot(lambdaRange, draws(0.0,lambdaRange),color = "green", label = r'$\lambda_A = 0$')
plt.legend()
plt.title("Szczególne przypadki remisu")
plt.ylabel('Prawdopodobieństwo remisu')
plt.xlabel(r'$\lambda_B$')
plt.grid();

Zauważmy, że dla odpowiednio małej \(\lambda_B\) największe prawdopodobieństwo remisu jest dla \(\lambda_A = 0.0\). To oznacza, że drużyna A nigdy nie strzeli gola, a wynik 0:0 jest najbardziej prawdopodobny.
Dla dowolnych \(\lambda_A\) i \(\lambda_B\) prawdopodobieństwo remisu łatwiej zobrazować na wykresie 3D. Naniosłem również wcześniejsze krzywe na trójwymiarowy wykres.

Show code cell source Hide code cell source

x = np.linspace(0,4,100)
y = np.linspace(0,4,100)
xv, yv = np.meshgrid(x,y)
heatmap = np.array(list(map(lambda x: draws(x[0],x[1]), zip(xv.flatten(), yv.flatten())))).reshape(xv.shape)
fig = go.Figure(go.Surface(x=xv,y=yv,z=heatmap))
fig.add_trace(go.Scatter3d(x=x, y=x, z=draws(x,x), mode='lines',name="", showlegend=False, line=dict(color='red', width = 4)))
fig.add_trace(go.Scatter3d(x=x, y=x*0.0, z=draws(0,x), mode='lines',name="", showlegend=False, line=dict(color='green', width = 4)))
fig.add_trace(go.Scatter3d(x=x*0.0, y=x, z=draws(0,x), mode='lines',name="", showlegend=False, line=dict(color='green', width = 4)))
fig.update_layout(
    title = 'Prawdopodobieństwa remisów',
    title_x=0.5,
    scene_camera = dict(eye = dict(x=2.25/1.2, y=1.0, z=1.2)),
    scene=dict(
        xaxis_title='λ<sub>A</sub>',
        yaxis_title='λ<sub>B</sub>',
        zaxis_title='P(remis)'
    ),
    height = 1000
)
fig.show()

Obliczenia dotyczące wygranych wymagają sumowań po różnych wynikach i nie udało mi się znaleźć zwięzłego rozwiązania. Numerycznie wystarczy posumować możliwe wyniki do raptem kilku strzelonych goli (wyniki 10:10 są raczej mało prawdopodobne w piłce nożnej).

\[ P(wygrana\text{ }A) = \sum_{i>j\geq0} P(i, \lambda_A)\cdot P(j, \lambda_B) \approx \sum_{10>i>j\geq 0} P(i, \lambda_A)\cdot P(j, \lambda_B). \]

Znając \(\lambda_A\), \(\lambda_B\) i marżę można łatwo wyliczyć kursy dla zdarzeń:

• wynik meczu (wygrana/przegrana/remis),

• dokładny wynik,

• całkowita liczba bramek,

• wynik pierwszej/drugiej połowy,

• wynik dogrywki,

• różnicę bramek,

i tak dalej można w nieskończoność.

Problem można odwrócić i znając zakłady spróbować wyliczyć lambdy. Obliczenia wykonuję numerycznie korzystając z wartości kursów na remis, wygraną i przegraną. Potrzebne są wszystkie trzy, aby dodatkowo oszacować marżę.
Ponownie przedstawię konkretny przykład z fragmentem kodu i wynikami. Reszta potrzebnego kodu jest dostępna w ukrytych komórkach.

Show code cell content Hide code cell content

def win(l1,l2):
    res = 0.0
    for i in range(10):
        winner = poisson(i,l1)
        for j in range(10):
            if j<i:
                res += poisson(j,l2)*winner
    return res


def kursRemisZeroZero(kurs1,kursRemis,kurs2):
    corr = 1/kurs1 + 1/kursRemis + 1/kurs2
    (pr1, prRemis, pr2) = (1/kurs1/corr, 1/kursRemis/corr, 1/kurs2/corr)

    def equations(p):
        l1,l2 = p 
        return (draws(l1,l2) - prRemis, win(l1,l2) - pr1)

    l1Est, l2Est = fsolve(equations, (1,1))
    return 1/poisson(0,l1Est)/poisson(0,l2Est)

#dane wejściowe
(kursA,kursRemis,kursB)= (1.59,4.25,4.65)

#policzmy poprawkę na marżę
corr = 1/kursA + 1/kursRemis + 1/kursB
(prA, prRemis, prB) = (1/kursA/corr, 1/kursRemis/corr, 1/kursB/corr)

def equations(p):
    l1,l2 = p 
    return (draws(l1,l2) - prRemis, win(l1,l2) - prA)

#oszacujmy lambdy
lAEst, lBEst = fsolve(equations, (1,1))

Show code cell source Hide code cell source

text = f"""
wejście:
kurs A: {kursA}, kurs na remis: {kursRemis}, kurs B: {kursB}

Obliczone:
P(A): {prA:.2f}, P(remis): {prRemis:.2f}, P(B): {prB:.2f}
marża: {corr-1:.2f}
lambda A: {lAEst:.3f}
lambda B: {lBEst:.3f}

prawdopodobieństwo 0:0 : {poisson(0,lAEst)*poisson(0,lBEst):.2f}
kurs minimalny na 0:0 : {1/poisson(0,lAEst)/poisson(0,lBEst):.2f}
kurs opłacalny (dla grającego) na 0:0 : >{1/poisson(0,lAEst)/poisson(0,lBEst)/0.88:.2f}
"""
print(text)

wejście:
kurs A: 1.59, kurs na remis: 4.25, kurs B: 4.65

Obliczone:
P(A): 0.58, P(remis): 0.22, P(B): 0.20
marża: 0.08
lambda A: 1.942
lambda B: 1.044

prawdopodobieństwo 0:0 : 0.05
kurs minimalny na 0:0 : 19.82
kurs opłacalny (dla grającego) na 0:0 : >22.52

Wnioski

Przedstawiony model dwustanowy i Poissona opierają się ukrytych parametrach dotyczących prawdopodobieństw. Stawki i inżynieria wsteczna pozwalają wyliczyć mniej popularne kursy i prawdopodobieństwa zdarzeń, dla własnej ciekawości. Oczywiście nie odkryłem nic nowego, podobne wyniki są chociażby na stronie kalkulator zakładów.
Jeśli gramy zgodnie ze strategią i oczekujemy przynajmniej 5% zysków, to nasze przewidywania powinny być lepsze od zakładów o ponad 22%. Obstawianie mało prawdopodobnych zdarzeń może prowadzić do płacenia większego podatku. Pamiętając, że zyski są losowe, nawet jeśli czasami spore, to wymagają nakładów finansowych i czasowych. Potrzeba zawrzeć wiele zakładów, aby zyski były statystycznie istotne.